第一章 函数与极限 - 章节测试

下列函数中，哪一个是奇函数？

函数 \(f(x) = \ln(x^2 + 1)\) 的值域是：

已知 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)，则 \(\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}\) 等于：

设函数 \(f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}\) 在 \(x = 0\) 处连续，则 \(k\) 的值为 ________。

已知数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1 = 1\)，\(a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{2}{a_n})\)，则 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_n\) = ________。

计算极限：\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}\)

设函数 \(f(x) = \frac{x^2-a^2}{x-a}\)，其中 \(a\) 是常数。

（1）求函数的定义域；

（2）讨论函数的连续性。

证明：若函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，且 \(f(a) \cdot f(b) < 0\)，则存在 \(\xi \in (a, b)\)，使得 \(f(\xi) = 0\)。

某物体从高处自由落下，其下落距离 \(s\)（米）与时间 \(t\)（秒）的关系可以表示为：\(s(t) = \frac{1}{2}gt^2\)，其中 \(g \approx 9.8 \text{ m/s}^2\) 是重力加速度。

（1）求物体下落速度 \(v(t)\) 关于时间 \(t\) 的函数表达式；

（2）若物体从 100 米高处自由落下，求物体着地时的速度。